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[分享]基于能量法的结构刚度效率分析
今天就和伙伴们扯一下“基于能量法的结构刚度效率分析”，但在扯“能量法”之前会先扯下“虚功原理”，想必大家以为阿扯会长篇推导各种公式，积分微分狂甩。本文就两条九年义务教育教纲以外的公式，说实在，再繁琐点的公式我也看不懂，记得是初二那年第一节数学课，我花了2秒钟弯腰捡支笔，从此就再也没听懂过数学！
基于能量法的结构刚度效率分析，说得通俗点就是如何“快、准、狠”地调整结构刚度，以此满足层间位移角限值、结构顶点风振加速度限值等，让大家早点干完活回家陪老婆孩子。
第一部分 平面桁架结构
杆件截面均为φ10*0.6（Q345），不考虑结构自重，结构布置图详图1.1。
游戏规则：在特定的优化目标及约束条件的前提下，对此结构杆件布置进行优化，最终杆件最少者胜。
优化目标：A点水平位移值≤原结构A点水平位移值。
约束条件：杆件截面恒定。
1.1 原结构布置图
阿扯耍了一把，以下是优化方案，图1.2~图1.6分别为原结构、第5步、第10步、第15步及第20步（优化方案）的结构布置图。
图1.2 原结构 图1.3 第5步 图1.4 第10步 图1.5 第15步 图1.6 优化方案
杆件总数由65根减至45根，但顶点A水平位移值由10.3515mm减至10.1389mm。
怎么杆件数量少了30%，A点水平位移值却是减小的呢？
公式1.1
对于此平面桁架结构，杆件均为二力杆，故公式可简化为
公式1.2
图1.7 实际状态 图1.8 虚拟状态
从这个公式可以看出当轴力异号时，剔除此杆件对A点水平位移值的减小是有利的。当然减小此杆件截面尺寸对A点水平位移值的减小也是有利的，下面阿扯就试算下减小轴力异号的杆件截面尺寸对A点水平位移值的变化（黑杆为轴力异号的杆件，截面尺寸均由φ10*0.6减小至φ5*0.6）。
图1.9 减小黑杆截面尺寸（10.3515mm减小至10.3502mm）
扯了这么多，有伙伴可能会想：阿扯这傻毛该不会想要我手算吧？
要是手算，还能早点干完活回家陪老婆孩子？阿扯精力有限，只研究了SAP2000和ETABS电算实现“虚功原理”的分析方法。单独设置实际状态荷载工况和虚拟状态荷载工况，显示“虚功图”（ETABS称之“能量/虚功图”），“力”选取实际状态荷载工况，“位移”选取虚拟状态荷载工况（根据公式1.3，“力”与“位移”的荷载工况互换亦可），对话框如下图：
图1.10 “虚功图”对话框
实际上SAP2000上的“虚功绝对值” （ETBAS无“虚功绝对值”，仅显示“虚功相对值”）并不是力学意义上的构件虚功值S，而是单位体积的虚功绝对值s，计算公式如下：
公式1.4
“虚功相对值”s’，计算公式如下：
公式1.5
下面阿扯就上述的平面桁架结构用SAP2000做一个力学实验，对比“虚功相对值”最大的杆件及“虚功相对值”最小的杆件截面由φ10*0.6增大至φ20*1.0的A点水平位移值。（括号内为A点水平位移值，原结构A点水平位移值为10.3515mm。）
图1.11 “虚功相对值”图
图1.12 Max（7.5453） 图1.13 Min（10.3514）
以上分析均基于“虚功原理”，分析均限于某点为位移监测点。实际工程上更侧重结构整体刚度的控制，如满足层间位移角限值、结构顶点风振加速度限值等。那阿扯就切入“能量法”来实现实际工程中的应用（以下推导仅基于线弹性、小变形结构）。
下面会涉及到三个概念——“外力功”、“应变能”及“应变能密度”。
外力功顾名思义外力所做的功，计算公式如下：
公式1.6
应变能是结构变形过程中贮存在结构内部的势能，可分为构件应变能和结构应变能，结构应变能等于所有构件应变能之和，根据能量守恒定律，结构应变能等于外力功，计算公式如下：
公式1.7
公式1.8
应变能密度则为单位体积的应变能，计算公式如下：
公式1.9
应变能密度与结构整体刚度之间又是一个什么样的关系呢，为了方便大家理解，阿扯以杆件截面尺寸及长度一致且等截面的二力杆推导其之间的公式关系（综合公式1.6~1.11，得出应变能密度与结构整体刚度的关系式为公式1.12）：
当然是选择应变能密度最大的杆件，可能上述公式不是特别显著地判断，但是其实就是一个证明题：
扯了这么多公式，是时候应该切入如何电算实现“能量法”的分析方法。非常简单，“力”及“位移”均选取实际状态荷载工况，对话框如下图：
图1.14 “虚功图”对话框
此时显示的“虚功相对值”即为杆件应变能密度相对值（“虚功绝对值”是2倍杆件应变能密度），阿扯就扯一个好听点的名字“结构刚度敏感性系数”。下面阿扯就上述的平面桁架结构用SAP2000再做一个力学实验，对比应变能密度最大的杆件及应变能密度最小的杆件截面由φ10*0.6增大至φ20*1.0的结构周期。（括号内为结构周期）
图1.15 应变能密度图
图1.16 Max（0.02022s） 图1.17 Min（0.02561s）
第二部分 超高层结构实战演练
结构体系为剪力墙结构，层数为35层，层高为4.5m，结构总高度157.5m，抗震设防烈度为7度（0.10g），地震分组为第一组，场地类别为Ⅱ类，基本风压为0.55kN/m2，地面粗糙度类别为C类，体型系数为1.40，层间位移角限值为1/766（执行《广东高规》）。原结构布置图详图2.1~图2.5，最大层间位移角为1/643（27层，Y向风荷载工况，远不满足限值1/766）。
图2.1 第1~6层结构布置图
图2.2 第7~12层结构布置图
图2.3 第13~17层结构布置图
图2.4 第18~22层结构布置图
图2.5 第23~顶层结构布置图
阿扯基于上述“能量法”进行结构刚度效率分析（ETABS），原结构应变能密度图详图2.6~图2.7，根据首层平面应变能密度图确定结构刚度敏感性系数较大的构件（如角部端柱、X方向翼缘等），再根据3D应变能密度图确定结构刚度敏感性系数较大的楼层（底部若干层，本案例主要调整第1~12层），结构布置调整详图2.8~图2.10。
图2.6 首层平面应变能密度图
图2.7 3D应变能密度图
图2.8 第1~6层结构布置调整对比图
图2.9 第7~12层结构布置调整对比图
图2.10 第13~17层结构布置调整对比图
根据以上结构布置微调（主要加大第1~12层角部端柱高度及X方向翼缘厚度），最大层间位移角由1/643减至1/767（27层，Y向风荷载工况，满足限值1/766）。
为什么是增大结构刚度敏感性系数较大的翼缘的厚度？——在Y向水平力作用下X向翼缘厚度就是“h”，翼缘长度就是“b”。
最大层间位移角位于27层，为什么仅需调整第1~12层？——关系到层间位移的组成（有害位移和无害位移）、各楼层的层间位移中有害位移所占的比例等，解答起来又得需要一篇博文，阿扯不久的将来会扯一篇关于层间位移的文章。
基于能量法的结构刚度效率分析方法应用广泛，如伸臂桁架加强层楼层优选、空间结构优化等。
