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[分享]浅谈结构抗震概念（七）！
浅谈构造抗震概念(七)
转自公众号：土木吧
作者：王锁军
北京蓝图工程设计有限公司
下面这段话是一名网名叫朝阳的读者在读了浅谈(六)后的留言：
“定性的了解两个质点的受迫振动的状况，当外荷载的频率和其中的一个振型的频率相等时，这个振型就会发作共振，其它振型的自振会很快消逝，其振动就会以这种振型并以最大的振幅表现出来。但由于有阻尼的存在，最大振幅将维持在一个稳定的数值。”“钢尺有可能按这些图形的任何一种样子振动，就看振动台的频率了，频率越大，扭出来的麻花就越多，这就是振型，当然振动也可能是某些振型的组合。”“用绳子把两个质点拉开成第一振型的位移比例，忽然断开，这就是第一振型的位移初始条件，就按第一振型振下去，没第二振型什么事儿。同样把两个质点拉开成第二振型的位移比例，断开后就是第二振型的振动。假如两个质点的初始位移比例和那个振型都不符，那就两个振型混合振起来，两个振型所奉献的位移比例要看初始位移和那个接近了。”这些话读起来很有意义，我们每个人的内心都能够看做是一个包含N个质点的多自在度体系，在社会大熔炉的影响下做着各种受迫振动，每个人由于资质、性格、所处环境的不同可能走出各种各样不同的人生，社会越动乱，每个人的人生道路就会越迂回、越复杂。家庭和生活环境就是我们人生的初始条件，一个好的人生导师(也能够是一种思想、一种信心)就像外荷载，或者说外在鼓励。当我们内心遭到触动、思想遭到感化，并不时得到强化时，就会和导师的思想发作共振，走上与其相同的人生道路，同时激起出本身的宏大能量。
见贤思齐”是我们工作、生活获得进步的主要途径，关键是如何保证这个外在鼓励能不断坚持下去，不要前功尽弃，这就不是普通人能做到的了。毕竟人生短暂，花花世界的诱惑就像阻尼一样无处不在
我写“画图杂谈”和“浅谈抗震”每期都会不少读者留言，给我很大的鼓舞和很好的倡议，但这位读者的留言却让我十分的冲动。他把我们的专业和人生联络了起来，又是如此的恰当，让人慨叹，令人深思!
原本想小题大作一下，但觉得他曾经说的太好了，再多言就是饶舌，故作罢!
接上期，继续讨论振型剖析。从两个质点的振型剖析和不同振型的正交性，推行到多质点体系也是一样的。
一：多质点体系自在振动
看下多质点体系的自在振动方程：
和两个质点体系的方程求解过程一样，经过假定质点的振动位移为简谐方式：
写成矩阵并解矩阵方程的式子是这样的：
展开这个行列式并解方程就能够得到以为未知数的N个代数方程(和质点数相同)，解这个方程，从而有小到大得到N个，最小的叫根本振型(第一振型)，就是在建筑构造简化的质量串都向一边倒的那个振型，基底剪力法也是用的这个振型停止的简化。
求出n个后，代入上面的方程，就能够得到N个比例不会变化的振型位移:
Y1Y2......
即N个振型。
真正的振动是各质点的位移是以Y1Y2......之间的而不变的比例关系来振动的，实践的位移是振型位移的倍数，能够表达为,这个CY1CY2......值是一个恣意常数(某一时辰为0)，也就是说Y1Y2......只是振型，即振动的形态，不是真实的振幅。
反正Y1Y2......代表的只是比例关系，为了简化，我们能够让Y1=1，得到的一组振型位移，叫规范化振型。
上面所述和上期杂谈的两个质点的办法一样，只是扩展到多个质点而已。
大家看到了，两个质点的解方程都是如此的艰难，假如多个呢?有人说，如今计算机技术了，解这个联立方程组霎时的事，但我们学习不能什么东西直接应用机器智能，也应该走一遍前辈伟人走过的路，领会一下荆棘路上的波谲云诡微风光瑰丽。
二：振型正交性
再用文字解释一下正交性
一个振型下(比方i振型)的不同质点的一组惯性力
这个是线性代数里面向量和矩阵的表达，很难用言语说分明，既然是浅谈么就不较真了，按我的言语描绘的思绪往下停止就行了。
正交性就是一个振型下的一组惯性力(对质量来说)或一组恢复力(对刚度来说)对另一个振型的位移做的功是虚功也就是0，那这个这个振型下的惯性力或恢复力对本人的振型的做的功那就是实功了，是几呢?
留意这个式子数学上不严谨，为了了解便当而已。
学习物理学、力学时，我总是希望晓得公式的物理意义，以便于了解，但这个广义质量和广义刚度的物理意义是什么?当年在清华读硕士时急躁的构造动力学的学习就对这个广义质量和刚度的物理意义就感到困惑，四周的大神们似乎对这个问题也不置可否，可能大家觉的这也算是个问题么?
20多年繁忙的工作没时间似乎也没必要去考虑这个无关紧要的问题，但如今写文章，又回到了当年的困惑。考虑好久，下面的描绘算是对这个概念的物理意义的解释吧，总比没有强。
用下图表示上式振型力自作功是这样的：
看了上图大家是不是又想起了伪加速度的概念，即恢复力等于伪加速度乘以质量，而伪加速度等于圆频率的平方乘以位移
这是由于惯性力做功实践上是个过程，严厉讲是力和位移从小到大积分出来的，不是最终的力和最终的位移代数相乘出来的。高中物理讲功是力乘以位移得出的。大学时我们晓得，力和位移都是曲线变化的，这个功就不能用高中时的直接相乘得出了，而是需求数学积分了，数值上等于力-位移曲线包络的面积，这就是抗震能量原理的根本概念。所以这种惯性力直接乘位移的计算功(能量)的办法必然大的多(4.93)。其倍数一定是个肯定的数，数学上能够求出来，应该就是4.93，我们不去管它，能够把这种算法算出来的能量叫广义动能(为了了解，作者个人定义)。
质点的刚度乘以质点振型位移是恢复力，恢复力再乘以位移就是恢复力做的功，求和就能够了解成广义动能。我们能够把振型了解为质点的单位位移，刚度乘以单位位移数值上还是相等的，故广义动能能够了解为广义刚度。
这个振型的自振频率：
我们下文停止考证一下。
三：多自在度体系的受迫振动的振型合成法(叠加法)
(1)：
外荷载的下的受迫振动，我们还是先从最简单的简谐荷载开端剖析。
两个质点强迫振动的方程扩展为多质点体系的方程如下：
也有不同地震鼓励下的振动的解法，比方港珠澳大桥几十公里长，两侧桥墩的地震波再用相同的地震波就不行了，这种需求停止不同地震鼓励下的构造振动的求解，我们的构造普通很少遇到，故不在文章浅谈之内，实话说也超出了我的才能。
在平稳阶段，各质点将做简谐振动：
上述的解法是是外力是简谐荷载下的解析解法，如何求解普通动荷载下的多质点体系的振动反响呢?显然用求解联立代数方程组的方法肯定是处理不了的，这就是解析法的局限。
(2)
方式上完整一样，但概念上是不一样的。
振型奉献系数方程的各个参数的含义需求再描绘一下，以加深了解。
首先方程的未知数是振型(比方i振型)对质点的位移在时间t时辰的奉献的数值，是时间的函数。一切的振型就能够列出一切振型奉献系数向量。
怎样了解这个广义外力呢?任何专业的动力学教材也没有文字去定义这个所谓的广义外力或广义刚度、广义质量什么。而文章既然是浅谈抗震概念，就试图用粗浅的言语来解释这些概念的力学物理意义，不用很精确，有助于了解就好。
广义外荷载就是作用于不同质点的外力幅值分别乘以该质点的某振型位移再求和，外力乘以振型位移能够了解为该外力对该质点的奉献，相对位移的比例就是外力可以起作用的比例，所以能够了解外力在该振型的奉献系数。
(3)
上述的公式太笼统，我们做一个实践的例子来实践验算增强一下概念，一两层的建筑如下：
先经过求解联立方程组，求出该两质点建筑的振型矩阵如下：
两个振型：
;
用广义质量和广义刚度求频率：
和联立方程组求解出来的第一振型的频率肯定是一样的。
(4) 求关于外荷载：
假定上述例题建筑的空中运动加速度为：
四：线弹性动力时程剖析法求解多质点构造振动反响
关于普通外荷载的构造我们能够经过上述公式先求解个振型的叠加系数，在求和求出总振型位移。
五：振型合成反响谱法和弹性动力时程剖析
上述的剖析办法实践是直接时程剖析法，由于用了累计叠加的杜哈梅积分，所以只能用于线弹性，也就是我们标准上所说的弹性动力时程剖析。但振型合成反响谱法是标准的根本办法，而弹性动力时程剖析是补充办法。
前几期的浅谈，我们也是先用根本的构造动力学的杜哈梅积分求解单质点普通鼓励下(比方恣意地震波)下的体系反响，但这种办法应用在直接工程中不不便当，计算量也太大，所以国际上通行的还是反响谱法，即用上述的直接法算足够多的且有代表性的地震波的反响并得出最大值绘出反响谱线来直接得出地震力。多质点同样道理，我们能够用单质点得出的反响谱(即体系周期与地震力的关系)，求出不同振型(相应周期)的地震力，但多质点地震力是各振型的叠加，不是某一个振型说了算的，所以再用本文讲的振型叠加的原理停止总反响的振型组合，这就是标准振型合成(叠加)反响谱法的根本原理，细致的下次再谈吧。
注：主要参考文献为
1：《构造动力学理论及其在地震工程中的应用》
Anil K. Chopraz
2：构造动力学：克拉夫
3：构造力学(动力学专题)：龙驭球、袁泗等
4：抗震标准
5：工程构造抗震设计:国度引荐高校教材、李爱群等
2020年7月11日
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