实验数据处理方法，非专业勿入！

时间: 2020-04-03 09:02 阅读: 次大中小

　　通过实验测得原始数据后需要进行计算将最终的实验结果归纳成经验公式或以图表的形式表示，以便与理论结果比较分析。因此由实验而获取的数据必须经过正确的处理和分析，只有正确的结论才能经得起检验。下面介绍这方面的基本知识。

　　有效数字与运算规律

　　1、有效数字

　　在测量和实验中，我们经常遇到两类数字，一类是无单位的数字，例如圆周率π等，其有效数字位数可多可少，根据我们的需要来确定有效数字。另一类是表示测量结果有单位的数字，例如：温度、压强、流量等。这类数字不仅有单位，且它们最后一位数字往往由仪表的精度而估计的数字，例如精度为1/10℃的温度计，读得21.75℃，则最后一位是估计的，所以记录或测量数据时通常以仪表最小刻度后保留一位有效数字。

　　在科学与工程中为了能清楚地表示数值的准确度与精度和方便运算，在第一个有效数字后加小数点，而数值的数量级则用10的幂表示，这种用10的幂来记数的方法称为科学记数法。例如：，可记为。

　　2、有效数字的运算规律

　　(1)在加减运算中，各数所保留的小数点后的位数应与其中小数点的位数最少的相同，例如：。

　　(2)在乘除运算中，各数所保留的位数以有效数字最少的为准，例如：将0.0135，17.53，2.45824三数相乘应写成。

　　(3)乘方及开方运算的结果比原数据多保留一位有效数字，例如：，。

　　(4)对数运算，取对数前后的有效数字相等，例如：，。

　　二、实验数据的误差分析

　　测得的实验值与真值之差值称测定值的误差，测定误差的估算与分析对实验结果的准确性具有重要的意义。

　　1、真值与平均值

　　任何一个被测量的物理量总存在一定的客观真实值，即真值，由于测量的仪器、方法等引起的误差，真值一般不能直接测得，若在实验中无限多次的测量时，则根据误差分布定律，正负误差出现的几率相等，将各个测量值相加并加以平均，在无系统误差的情况下，可能获得近似于真值的数值，因此实验科学给真值定义为：无限多次的测量平均值称为真值。而在实际测量中的次数是有限的，故用有限测量次数求出的平均值，只能是近似真值，称最佳值。在实验测量中使用高精度级标准仪器所测得的值代替真值。常用的平均值有下列几种：

　　(1)算术平均值

　　(2)几何平均值

　　(3)均方根平均值

　　(4)对数平均值

　　上述各式中：……——各次测量值;——测量的次数。

　　2、误差的表示方法

　　(1)绝对误差

　　某测量值与真值之差称绝对误差，在实际的测量中常以最佳值代替真值。其表达式为：

　　式中：——绝对误差

　　——次测量值

　　——真值

　　——平均值

　　(2)相对误差

　　绝对误差与真值之比称为相对误差。

　　(3)引用误差

　　仪表量程内最大示值误差与满量程示值之比的百分数

　　引用误差常用于表示仪表的精度，按引用误差的大小分成几个等级，把引用误差的百分数去掉剩下的数值就称为仪表的精度等级。测量仪表的精度等级是由国家统一规定的。电工仪表的精度等级分别有：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5和5.0七级。

　　例如某压力表注明精确度为1.5级，即表明该仪表最大误差为相当档次最大量程的1.5%，若最大量程为0.4Mpa，该压力表最大误差位：

　　3、误差的性质及其分类

　　(1)系统误差

　　在一定的条件下，对同一量进行多次测量时，误差的数值始终保持不变，或按某一规律变化出现的误差，称为系统误差。例如：使用刻度不准、零点未校准的测量仪器;实验状态、环境的改变，如外界的温度、压力、湿度的变化;实验操作人员的习惯与偏向等因素都会引起系统误差。这类误差往往在同一物理量的测定中其大小和符号基本不变或有一定的规律，经过精确的校正可以消除。

　　(2)随机误差(偶然误差)

　　在相同条件下，测量同一物理量时误差的绝对值时大时小，符号时正时负，没有一定的规律且无法预测，但这种误差完全服从统计规律，对于同一物理量作多次的测量，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋近于零，因此多次测量的算术平均值将接近于真值。

　　(3)过失误差

　　由于操作错误或人为失误所产生的误差，这类误差往往表现为与正常值相差很大，在数据整理时应予以剔除。

　　4、实验数据的精确度

　　精确度(又称准确度)与误差的概念是相辅相成的，精确度高，误差就小;误差大，精确度就低。它反映系统误差和随机误差综合大小的程度。而测量中所得到的数据重复性的大小称为精密度，则反应了随机误差的大小，以打靶为例。图3-1表示弹着点密集而离靶心(真值)甚远，说明精密度高，随机误差小，但系统误差大;图3-1表示精密度低而正确度较高，即随机误差大，但系统误差较小;图3-1的系统误差与随机误差均小，精确度均高。

　　图3-1 精密度与精确度示意图

　　数据梳理方法：列表法+图示法

　　实验数据的处理就是将实验测得的一系列数据经过计算整理后用最适宜的方式表示出来，在化工原理实验中常用列表法、图示法和方程表示法三种形式表示。

　　1、列表法

　　将实验数据按自变量与因变量的对应关系而列出数据表格形式即为列表法，列表法具有制表容易、简单、紧凑、数据便于比较的优点，是标绘曲线和整理成为方程的基础。

　　实验数据可分为实验数据记录表(原始数据记录表)和实验数据整理表两类。

　　实验数据记录表是根据实验内容待测数据设计，如流体直管阻力测定实验的实验数据记录表格形式。

　　实验数据整理表是由实验数据经计算整理间接得出的表格形式，表达主要变量之间关系和实验的结论，见下表

　　根据实验内容设计拟定表格时应注意以下几个问题：

　　(1)表格设计要力求简明扼要，一目了然，便于阅读和使用。记录、计算项目满足实验要求。

　　(2)表头应列出变量名称、符号、单位。同时要层次清楚、顺序合理。

　　(3)表中的数据必须反映仪表的精度，应注意有效数字的位数。

　　(4)数字较大或较小时应采用科学记数法，例如可采用科学记数法记作，在名称栏中记为Re×104，数据表中可记为2.5。

　　(5)数据整理时尽可能利用常数归纳法(即转化因子)。例如：计算固定管路中不同流速下的雷诺数时，其中为定值。则可归纳为，常数即为转化因子乘以各不同的流速，即可得到一系列相应的，可减少重复计算。

　　(6)在数据整理表格下边，要求附以某一组数据进行计算示例，表明各项之间的关系，以便阅读或进行校核。

　　2.图示法

　　上述列表法一般难见数据的规律性，为了便于比较和简明直观地显示结果的规律性或变化趋势，常常需要将实验结果用图形表示出来，化工实验中正确作图的一些基本原则如下：

　　(1)坐标纸的选择

　　化工中常用的坐标有普通直角坐标、双对数坐标和半对数坐标，根据变量间的函数关系选择合适的坐标纸。

　　(a)直线关系：，选用普通直角坐标纸。

　　设一组实验数据变量间符合上述线性关系，方程中的截距a和斜率b见后一元方程的图解。

　　(b)双对数坐标纸

　　双对数坐标纸的横、纵坐标是以对数标度绘制而成，如图3-3所示。

　　1)对数坐标的特点

　　对数坐标的特点是：某点与原点的距离为该点表示量的对数值，但是该点标出的量是其本身的数值，例如对数坐标上标着5的一点至原点的距离是。如图3-4所示。

　　图3-4 对数坐标的特点

　　图3-4中上面一条线为x的对数刻度，而下面一条线为lgx的线性(均匀)刻度。对数坐标上1，10，100，1000之间的实际距离是相同的，因为上述各数相应的对数值为0，1，2，3，这在线性(均匀)坐标上的距离相同。

　　在对数坐标上的距离(用均匀刻度的尺来量)表示为数值之对数差，即lgx1-lgx2

　　因此，在对数坐标纸上，任何实验点与图纸的直线距离(指均匀分度尺)相同，则各点与图线的相对误差相同。

　　在对数坐标纸上，一直线的斜率应为

　　由于与分别为纵坐标与横坐标上的距离与，所以可用尺量出直线上1，2两点之间的水平及垂直距离、，见图3-5 则斜率：

　　图3-5 双对数做标纸上直线斜率和截距的求法

　　2)选用双对数坐标纸的基本原则

　　(a)适用于幂函数，使非线性关系变换成线性关系。

　　幂函数在普通直角坐标上标绘是一条曲线，采用双对数坐标标绘可使之线性化，将上述幂函数等式两边取对数,则

　　令：

　　则上式变换为,即为线性方程。

　　(b)适用于所研究的函数y和自变量x在数值上均变化了几个数量级。例如，已知x和y的数据为：

　　x=10，20，40，60，80，100，1000，2000，3000，4000

　　y= 2，14，40，60，80，100， 177， 181， 188，200

　　在直角坐标上作图几乎不可能描出在x的数值等于10，20，40，60，80时曲线开始部分的点(见图3-6)，但是采用对数坐标则可以得到比较清楚的曲线(见图3-7)。

　　图3-6 用直角坐标纸做的图

　　图3-7 用双对数坐标纸做的图

　　3)半对数坐标纸

　　半对数坐标纸的一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴，如图3-8所示。

　　图3-8 半对数坐标纸

　　下列情况下可考虑用半对数坐标：

　　(a)变量之一在所研究的范围内发生几个数量级的变化

　　(b)在自变量由零开始逐渐增大的初始阶段，当自变量的少许变化引起因变量极大变化时，此时采用半对数坐标纸，曲线最大变化范围可伸长，使图形轮廓清楚。例如：用直角坐标纸做的图见图3-9，而改用半对数坐标纸后见图3-10。

　　图3-9 用直角坐标纸做的图

　　图3-10 用半对数坐标纸做的图

　　(c)适用于指数函数，使其变换为直线函数关系。将上式等号两边取自然对数，则，所以与呈直线关系。

　　4)坐标的分度

　　坐标的分度指每条坐标轴所代表数值的大小，即选择适当的比例尺。

　　为了得到理想的图形，在已知量和的误差与的情况下，比例尺的取法应使实验“点”的边长为，，并且使，则

　　轴的比例尺为：

　　y轴的比例尺为：

　　如已知温度误差，则

　　温度的坐标分度为长，若感觉太大，可取此时的坐标为长。

　　5)坐标纸的使用及实验数据的标绘。

　　(a)按照使用习惯取横轴为自变量，纵轴为因变量，并标明各轴代表的名称、符号和单位。

　　(b)根据标绘数据的大小对坐标轴进行分度，所谓坐标轴分度就是选择坐标每刻度代表数值的大小。坐标轴的最小刻度表示出实验数据的有效数字，同时在刻度线上加注便于阅读的数字。

　　(c)坐标原点的选择，在一般的情况下，对普通直角坐标原点不一定从零开始，应视标绘数据的范围而定，可以选取最小数据将原点移到适当位置，对于对数坐标，坐标轴刻度是按1、2……10的对数值大小划分的，每刻度为真数值。当用坐标表示不同大小的数据时，其分度要遵循对数坐标规律，只可将各值乘以倍(取正负整数)，而不能任意划分。因此，坐标轴的原点只能取对数坐标轴上规定的值做原点，而不能任意确定。

　　(d)标绘的图形占满整幅坐标纸，匀称居中，避免图形偏于一侧。

　　(f)标绘数据和曲线：将实验结果依自变量和因变量关系，逐点标绘在坐标纸上。若在同一张坐标纸上，同时标绘几组数据，则各实验点要用不同符号(如●，×，▲，○，◆等)加以区别，根据实验点的分布绘制一条光滑曲线，该曲线应通过实验点的密集区，使实验点尽可能接近该曲线，且均匀分布于曲线的两侧，个别偏离曲线较远的点应加以剔除。

　　四、实验数据的方程表示法

　　在化工实验数据处理中，除了用表格和图形描述变量的关系外，常常需要将实验数据或计算结果用数学方程或经验公式的形式表示出来。

　　在化学工程中，经验公式通常都表示成无因次的数群或准数关系式，确定公式中的常数和待定系数是实验数据的方程表示法的关键。

　　经验公式或准数关系式中的常数和待定系数的求法很多，下面介绍最常用的图解法、选点法、平均值法和最小二乘法。

　　1、图解法

　　图解法仅限于具有线性关系或非线性关系式通过转换成线性关系的函数式常数的求解。首先选定坐标系，将实验数据在图上标绘成直线，求解直线斜率和截距，而确定线性方程的各常数。

　　图3-11 一元线性方程的图解

　　(1)一元线性方程的图解

　　设一组实验数据变量间存在线性关系：y=a+bx。通过图解确定方程中斜率和截距，如图3-11所示。在图中选取适宜距离的两点，直线的斜率为：。直线的截距，若坐标轴的原点为0，可以在轴上直接读取值(因为,)。或可用外推法，使直线延长交于纵轴于一点，则为直线的截距。否则，由下式计算：

　　以上式中,是从直线上选取的任意两点值。为了获得最大准确度，尽可能选取直线上具有整数值的点，,两点距离以大为宜。

　　若在对数坐标上用图解法求斜率时请注意斜率的正确求法。

　　(2)二元线性方程的图解

　　若实验研究中，所研究对象的物理量即因变量与两个变量成线性关系，可采用以下函数式表示：

　　上式方程为二元线性方程函数式。可用图解法确定式中常数：。首先令其中一变量恒定不变，如使视为常数，则上式可改写成：=。

　　式中常数。

　　由与的数据可在直角坐标中标绘出一直线，如图3-12所示。采用上述图解法可确定的系数。

　　在图3-11中直线上任取两点，则有：

　　当求得后，将其代入原式中并将原式重新改写成以下形式;

　　令，可得新的线性方程：

　　由实验数据和计算得，由与在图3-12中标绘其直线，并在该直线上任取两点。由f1,f2两点即可确定两个常数：

　　在确定时，其自变量应同时改变，才使其结果覆盖整个实验范围。

　　(a)

　　(b)

　　图3-12 二元线性方程的图解

　　2、选点法

　　选点法亦称联立方程法，此法适用于实验数据精度很高的条件下，否则所得函数将毫无意义。具体步骤是：

　　(1)选择适宜经验方程式，

　　(2)建立待定常数方程组

　　若选定经验方程式为：

　　则从实验数据中选出两个实验点数据代入上式中得：

　　(3)联立求解以上方程，即可解得常数。

　　选点法也可与图解法结合起来。先将实验数据标绘在坐标纸上，在实验数据点之间用一直尺画出一条能代表所有数据的直线，该直线两侧的实验点均匀分布接近直线，在这直线两端选取两点，将其代入经验公式，解联立方程即可求出常数。

　　3、平均值法

　　当函数式是线性的，或者可线性化，则该函数适合。列出条件方程 ,使条件方程的数目等于已知的实验个数，然后按照偶数相等，或奇数近似相等的原则，将条件方程相加，得出下列两个方程。

　　解之，即可求得系数和的值。

　　例：由传热实验得Re与的一组数据

　　4.25×104

　　3.72×104

　　3.45×104

　　3.18×104

　　2.56×104

　　2.14×104

　　86.7

　　82.1

　　78.0

　　70.0

　　61.2

　　53.9

　　其经验方程式：

　　试用平均值法确定其中的系数。

　　解：对经验公式取对数后使其线性化，得：

　　上述数据取对数

　　lgRe

　　4.6284

　　4.5705

　　4.5378

　　4.5024

　　4.4082

　　4.3324

　　1.9380

　　1.9143

　　1.8921

　　1.8451

　　1.7868

　　1.7316

　　根据上述数据分成相等两组，然后再相加

　　1.9380=A+4.6284B

　　1.9143=A+4.5705B

　　1.8921=A+4.5378B

　　1.8451=A+4.5024B

　　1.7868=A+4.4082B

　　1.7316=A+4.3324B

　　5.7444=3A+13.7367B

　　5.3636=3A+13.2430B

　　解此方程组

　　得：

　　所以所求的准数方程式为：

　　4、最小二乘法

　　在图解时，座标纸上标点会有误差，而根据点的分布确定直线位置时，具有人为性.因此用图解法确定直线斜率及截距常常不够准确.较准确的方法是最小二乘法，它的原理是：最佳的直线就是能使各数据点同回归线方程求出值的偏差的平方和为最小，也就是落在该直线一定的数据点其概率为最大，下面具体推导其数学表达式。

　　①一元线性回归

　　己知N个实验数据点(χ1,у1)，(χ2,у2)，……，(χN,уN)。

　　设最佳线性函数关系式为у=b0+b1χ。则根据此式N组x值可计算出各组对应的у′值

　　у1′= b0 + b1χ1

　　у2′= b0 + b1χ2

　　………

　　уN′= b0 + b1χN

　　而实测时，每个χ值所对应的值为у1,у2……уN，所以每组实验值与对应计算值у′的偏差δ应为

　　δ1=у1 - у1′=у1 –(b0 + b1χ1)

　　δ2=у2 - у2′=у2 - (b0 + b1χ2)

　　………………………………

　　δN=уN - уN′=уN - (b0 + b1χN)

　　按照最小二乘法的原理，测量值与真值之间的偏差平方和为最小。

　　最小的必要条件为：

　　展开可得

　　= -2[у1 - (b0 + b1χ1) ] -2[у2 - (b0 + b1χ2) ] ……… –2[уN - (b0 + b1χN) ]

　　= -2χ1 [у1 - (b0 + b1χ1) ] -2χ2 [у2 - (b0 + b1χ2) ] ……… –2χN [уN - (b0 + b1χN) ]

　　写成和式

　　联立解得：

　　由此求得的截距为b0，斜率为b1的直线方程，就是关联各实验点最佳的直线。

　　② 线性关系的显著检验——相关系数

　　在我们解决如何回归直线以后，还存在检验回归直线有无意义的问题，我们引进一个叫相关系数(r)统计计量，用来判断两个变量之间的线性相关的程度

　　式中：

　　在概率中可以证明，任意两个随机变量的相关系数的绝对值不大于1。即

　　∣r∣≤ 1 或 0 ≤∣r∣≤ 1

　　r的物理意义是表示两个随机变量χ和у的线性相关的程度，现分几种情况加以说明。

　　当r=±1时，即N组实验值(χí,уi)全部落在直线у′= b0 + b1χ上，此时称为完全相关。

　　当∣r∣越接近1时，即N组实验值(χi,уi)越靠近直线у′= b0 + b1χ，变量у与χ之间关系越近于线性关系。

　　当r=0，变量之间就完全没有线性关系了。但是应该指出，当r很小时，表现不是线性关系，但不等于就不存在其它关系。

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