[分享]结构位移计算与虚功—能量法简述

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      结构上点的位置的移动(线位移)或截面的转动（角位移）。主要由荷载作用、温度变化、支座沉陷、结构构件尺寸的误差以及结构材料性质随时间的变化等原因引起。结构位移计算主要应用于结构刚度分析。同时也是超静定结构（见杆系结构的静力分析）分析的重要基础。

　　杆系结构位移 　杆系结构位移的普遍计算公式可以从变形体虚功原理导出(见能量原理),为此虚设一个(或一对) 与所要计算的位移（或相对位移）相应的单位力，将结构上施加虚拟单位力的状态作为力的状态，而将待求的结构位移状态作为虚位移状态，从而按虚功原理建立虚功方程，即可得出位移计算的普遍公式：

(1)

式中墹为待求的位移;嚔i、嚻i和坴i为虚拟单位力状态的结构内力，即弯矩、轴力和剪力；垪i为同一状态下的支座反力；d墹嗞、d墹λ和d墹Υ为待求位移状态中杆件微段ds两端截面的相对位移，即相对转角、相对轴向位移和相对剪切位移;c为同一状态下的支座位移。等号右边前三项中的积分沿各杆段l进行，然后对所有的杆段求和。

　　平面直杆位移 　由线性变形体组成的平面直杆系在荷载作用、温度变化和支座沉陷影响下的位移计算公式：

(2)

式中E、G和α为材料的弹性模量、剪切弹性模量和线膨胀系数；k、I、A和h为横截面的剪力修正系数、惯性矩、面积和高度;M、N、Q为待求位移状态下的弯矩、轴力和剪力;t为杆轴上的温度变化；t′为横截面上下缘的温差。

　　如果结构是静定的，温度变化和支座沉陷都不会使结构产生内力。如果结构是超静定的,(2)式右边的前三项是由荷载引起的，第四、五项是由温度引起的，最后一项是由支座沉陷引起的。欲求超静定结构位移，必须先求出待求位移状态下的超静定结构内力；而根据虚功原理，虚拟的单位力可以加在由原来的超静定结构经解除某些约束后形成的任意静定结构上或任意一个静定的部分上，以使计算工作简化。

　　平面曲杆位移 　曲杆位移与直杆的不同之处在于：曲杆微段ds在受轴力作用时两端截面也会产生相对转角，在受力矩作用时也会产生相对轴向位移，并且中性轴不再与形心轴重合。所以，严格地说，平面曲杆的位移公式应在(2)式基础上作相应的补充和修改;但对于小曲率情况，工程上常忽略这种曲率影响。

　　空间杆系结构位移 　空间杆系结构有六个内力分量和六个位移分量，因此在其位移公式中应由弯、扭、剪、拉、压等项来代替(1)式中等号右边的前三项。

      位移是指平移或旋转；而力是指力量或力矩。每一个虚物理量既是自变量，又是任意设定的。任意性是一个很重要的特性，在数学方程式里，能够导引出许多重要的结论。例如，以下一个矩阵方程式，R，r，q是向量，B是方阵：R^Tr=R^TBq，如果，R是个任意向量，则r=Bq。这样，我们可以将任意项目从方程式中除去，得到很有用的结果。

      粒子在t时刻发生虚位移rr δ 的过程中，所受的力就是在t时刻的力。这是与实位移相区别的另一特点。因此，把在t时刻作用于粒子上的力Fr在任一虚位移rr δ 中所做的功rr W=F·rr δ 叫做虚功。这里，两个矢量之间的圆点表示两个矢量的点乘运算。

      虚位移的概念蕴含着发展经典力学理论形式的基本思想，而虚功和虚位移的概念是同步发展的。它们萌芽于古希腊Aristotle 学派杠杆平衡的问题中。从它们的萌芽到它们在1788 年Lagrange巨著中的最终形成经历了近两千年的历史。