[分享]一个2自由度系统的结构动力学分析

1. 问题描述:一个高度理想化的两层框架结构.第一层侧向刚度为2k,第二层侧向刚度为k. 质量假设集中于楼层处,  第一层质量为2m, 第二层质量为m. 阻尼忽略.

2. 此简化结构具有两个自由度:两个楼层在水平方向上的侧向位移u1,u2.

3. 写出质量矩阵

4. 写出刚度矩阵

刚度矩阵解释一下.  Kij可以理解为由于自由度j发生单位位移时自由度i上需要施加的力. 

例如先把u2固定,把u1拉动1, 这样u1上需要的力为K11=2k+1k=3k. u2上需要的力为K21=-1k. 

再把u1固定, 把u2拉动1, u2上的力K22=1k,u1上的力K12=-1k.

5. 求固有频率和振型. 假设两个自由度都做简谐运动,u(t)=φ q(t), 带入运动方程,两次求导得到系数-ω^2.且为了满足方程为0, k-mω^2的行列式须为0.

这样求解得到两个特征频率和相应的振型.

6. 振型正则化.让

这样得到

7. 求解振型参与系数.  振型参与系数的计算方法为 

代表单位地面运动引起的该自由度的静位移.   

带入数据得到第一阶振型的参与系数为1.63, 第二阶振型的参与系数为-0.58. 

参与系数的平方等于该振型的有效质量.  第一阶振型有效质量=1.63^2=2.67, 第二阶振型有效质量=0.58^2=0.33. 总的有效质量=2.67+0.33=3.

8.多自由度系统的位移q(t)可以表示为:

其中D(t)为相同频率和阻尼比的单自由度系统位移.因此,一旦计算得到单自由度体系的解D(t),q(t)也随之得到.

第n阶振型对多自由度系数节点位移u(t)的贡献为:

将所有振型的反应贡献进行组合叠加,即可得到结构的总反应

下图是一个5层框架的例子. 右边5条曲线为各振型对应的单自由度系统的位移曲线D(t).

9. 对每个频率进行单自由度时程分析有些麻烦.结构分析需要的常常只是变形和内力的峰值. 是否可以不进行反应时程分析,直接从反应谱求出峰值反应呢?

对于单自由度体系,这个问题的答案是肯定的.但是,对于多自由度体系,答案是有条件的. 多自由度峰值的反应可以由反应谱计算,但结果是不精确的. 然而这种估算对于结构工程设计而言是足够的.

直接从每个振型反应的峰值(r_n0)获得总反应的峰值(r0)的精确值是不可能的, 因为通常各振型在不同时刻到达各自的峰值, 且没有可靠的信息说明总反应的峰值在什么时候发生. 下图给出一个五层框架的例子, 前面5个曲线为单个振型反应. 第6条曲线为总反应, 最大峰值为6.847.

10. Rosenblueth 在1951年提出SRSS振型组合规则

将每个振型的峰值反应平方求和再开根号,得到的值为总反应峰值的一个估计值.对于稀疏固有频率的结构,这种组合规则能得到极好的结构反应估计值.

振型组合的完全二次组合CQC规则克服了SRSS规则的局限性, 适用于更广泛的结构类型.

其中p_in为两个振型的相关系数.

11.对于高压设备的地震分析, SRSS基本够用了. 以下是两个常用标准中的规定.

• GB/T 13540-2009标准:.

• IEEE 693-2005的要求: