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1 引言
结构拓扑优化的目的在于，在一定的约束条件下，通过寻找结构最优的拓扑形态、形状和尺寸，获取最佳的结构性能。在当下材料资源短缺、环境影响以及技术竞争等多方压力下，我们需要更轻质、更低成本且能可持续发展的结构，因而最优化的结构设计变得尤为重要。
在过去的30年间，随着高速计算机的问世和算法的快速进步，越来越多的工程师和建筑师开始研究性能化设计。结构优化起初主要出于学术兴趣，现在迅速发展为实际应用。越来越多的研究直接将结构优化算法或者程序包提供给结构、机械和建筑设计领域的终端用户。
经过多年的发展和完善，一些通用的结构优化操作方法已经建立并得到广泛认可。在这些方法中，渐进结构优化法（the EvolutionaryStructureal Optimisation，简称ESO）由于其易用性和高效性，被工程师和建筑师广泛采用。ESO算法最早于20世纪90年代早期提出，通过逐渐去除结构中低应力材料，使余下的结构最终进化为最优的形态，既简单又快捷。ESO可以与一些商业的有限元分析（FEA）软件进行互连，如“ABAQUS”和“ANSYS”；同时它还可以和一些流行的计算机辅助设计软件整合使用，如犀牛（Rhinoceros）和玛雅（Maya）。下文是一个利用ESO算法 进行形态优化的样例，很好地表达了一个重力作用下的悬挂物体形态的进化过程。初始模型中的顶部切了两个开口，已形成一个固定在顶端的小柱。通过逐步去除低应力材料，最终获得一个表面应力分布均匀的形态，类似苹果或者樱桃。
图1通过ESO算法模拟物体在自重作用下悬挂在空中的最优形态
其后提出的双向渐进优化算法（the Bi-directional ESO，简称 “BESO”）,在上述算法基础上更加完善。材料除了能够从结构中移除，还可以在最需要的部位生长。从数值优化的角度，这种双向优化的好处显而易见，即被错误去除的材料可以通过生长过程得到复原。目前，BESO算法已经很成熟，可以对独立的网格面进行收敛计算。
对建筑师而言，在概念设计阶段，ESO和BESO算法为创造新颖高效的结构形式提供了机会。近几年也出现了在工程结构设计中应用ESO算法的案例。其中一个开拓性的尝试是日本的AKITAGWA河畔办公楼。项目用地10m×6m,与2004年4月建成。该楼东立面的墙体和楼板都保持原样，而在西、南、北三个立面的设计中应用了ESO的拓展算法。在优化设计中，同时考虑了竖向静荷载和横向的地震荷载。另一个建成的案例是卡塔尔国际会议中心，其长达250m的入口应用了BESO算法进行设计。支撑入口平台的对称支柱被设计为有机形态。这个特殊的设计运用钢管、预应力钢条、钢板、钢丝和混凝土等材料最终得以实施。这个设计概念起初实在意大利的佛罗伦萨新站的项目中提出的。
2 理论背景
在结构拓扑优化的问题中，刚度式结构性能最关键的要素之一。从数学的角度而言，结构刚度优化的目的是寻求刚度的最小值，该值可以用几何参数的函数，即设计变量来表达。包括BESO在内的大部分拓扑优化算法都是基于有限元方程的，它会将结构体离散成一个个单元体进行分析计算。每个单元体的状态（开启或关闭）能够方便地呈现结构的几何形态，因此可被视为设计变量。一个简单但完整的刚度优化模型通常包含一个体积约束值，用于控制材料的用量。在BESO计算过程中，为了实现优化目标，敏感度分析将设计变量在1和0之间切换（1表示开启，0表示关闭）。BESO算法的实现细节可查阅相关参考文献。下文呈现的是BESO在建筑设计中的应用案例。
3 西班牙圣家族大教堂
这是对安东尼奥•高迪（Antoni Gaudi’s）在西班牙巴塞罗那设计的圣家族大教堂（Sagrada Familia church）的研究。这项研究是2004年皇家墨尔本理工大学空间信息建筑实验室和笔者的团队一同开展的。高迪对于自然界形态生成方式的参考以及其模拟建模的方式与ESO或BESO的基本概念有很多共通之处。高迪著名的尝试就是利用绳索悬吊小球的模型创造索结构系统，并将其倒置，型城市和砌体建筑的纯受压设计。
在这项研究中，为解开高迪设计原理中的谜团，应用了ESO算法。为了找到最适合砌体结构的设计形态，我们设计了一种基于主应力的ESO算法。算法将受最大拉力的材料部分反复去除，最后形成一个基本只受压力的结构。需要注意的是，不是在任何情况下都可以获得纯受压的设计形态。
从一张现存的高迪受难门（Passion Facade）的手稿照片中，可以看到图2中的草图是结构优化过程的起点。随后，在重力荷载下进行相关的有限元分析得出结果。
图2.高迪设计的受难门立面手稿的部分照片和皮特·菲蒂对于该立面最初的设计草图
图3展现了立面演进的过程。最终的结果可以被认为是在特定的边界支撑、材料用量以及材料类型（该案例中是砌块）的情况下，最为有效的传递重力荷载的结构形态。就像在高迪的原稿中提到的一样，每一根下部的柱子都支撑着一组完整的分支的上部柱子。有趣的是，无论上部还是下部支柱，都拥有着骨头一般的造型。或许高迪对于最优的结构形态有着非比寻常的洞察力，他设计的很多结构都具有极高的效率。
图3.圣家族大教堂受难门立面的形态演进计算（从左到右）
通过建立模拟静态重力荷载下的索结构模型，高迪天才般地实现了结构优化。而像ESO和BESO这样的数字化设计工具则可以应对更多的设计需求，将复杂建筑找形问题变得更加容易。譬如，马克•贝瑞（Mark Burry）利用这个方法研究了地震荷载对于受难门上柱子的影响。
贝瑞进行的一系列其他研究都揭示了高迪的设计和ESO算法间惊人的相似度。图4展示了受难门的上层三种柱子的原型。这些模型通过对高迪原稿的研究和相交直纹曲面的应用发展而来。设计者就是圣家族大教堂的顾问建筑师马克•贝瑞教授。
图4.在受难门立面上放置了三个1:1的柱子原型的模型
柱子的原型创建后，进行二维的有限元分析，来计算它们在倾斜表面上的结构优化（图5）。在柱子顶部施加了均布垂直荷载，用以模拟上一层柱廊山墙的过梁所产生的应力。最终ESO的计算结果和实际建成柱子之间有着高度的相似。
图5.柱子在倾斜表面上进行渐进优化计算
随后，贝瑞等人又应用同一ESO算法对三维模型进行了计算（图6）。优化的目标仍然是寻求纯受压的结构形态。在这个案例中，上下表面都是水平的。其中，下表面被固定在地上，而上表面受到一个均布的垂直荷载。在初始模型中，上下表面通过两段纤细的颈柱连接在一起。经过数次计算迭代后，柱子像树一样在顶端出现了分叉，与高迪设计的教堂中殿的柱子（图7）非常类似。
图6.柱子在水平面上进行渐进优化计算
图7.圣家族大教堂中厅里在顶部分叉的柱子
4 大跨度人行桥设计
这个设计项目由澳大利亚墨尔本的BKK建筑事务所和笔者的研究团队一同完成。项目要求为澳大利亚一条重要的城际高速公路设置一系列步行桥，希望这些步行桥呈现简洁的雕塑一般的姿态，成为高速公路和周围环境的视觉兴趣点。图8是其中一座步行桥的草图，桥体需要65m宽，5.7m高的净空范围。项目将设计一个净跨为72m的拱形桥，且保证最大坡度不超过1:20。根据设计规范，拱桥能够承担4kpa的人行静荷载。为获得最大的结构刚度，在概念设计中应用了BESO算法。设计提出了两种方案：大块实心体设计和穿孔的壳管设计。
图8.大跨桥梁的草图：施工要求
4.1实心体设计
在第一个概念中，人行的压力被施加在结构上部的平台上。设计考虑了两种支撑条件：一侧桥墩下是滑动支座，另外一侧是固定支座；两侧都是固定支座。实心体概念模型是一个实心的有限元模型。根据不同的支撑条件，通过BESO算法计算得到了两种结果（图9）。从建筑概念设计的角度来看，两个方案均体现出了优良的结构性能，前者通过典型的桁架形式来抵抗弯矩，后者形成一个拱形以抵抗侧向荷载。
图9.BESO计算得到的桥梁实体方案：(1)一点为固定支座，另一点为滑动支座。(2)两点均为固定支座。
4.2 壳体设计
桥底方案的核心概念是由壳体单元组合而成的空心管作为桥体。根据空心管的截面形状决定管内是否需要加覆平板作为人行步道。譬如，圆形截面的空心管需要加一块平板，而矩形界面的则不需要。材料采用钢材时，该设计可以形成轻质且牢固的钢结构。图10展示了半径为1.9m的圆形截面的空心管所形成的步行桥，在低于圆心1m处放置了一块平板。为了表达清晰，在渲染模型中没有添加防护墙。图10（4）是另一个在中国苏州的轻轨步行桥项目的设计提案，在上述设计的基础上进行了少许修改。
图10.桥梁壳体方案的渲染结果：(1)侧视图1 (2)侧视图2 (3)顶视图 (4)将同样的壳体设计方案应用到中国苏州的一个桥梁项目中（和BKK建筑事务所的提姆·布莱克合作）
4.3周期性壳体结构设计
当引入周期性几何约束后，上文的壳体管道概念可以调整出多种多样的方案。周期性的结构含有一些特定的基础单元，这些单元在长向和径向不断地复制。从建筑设计的角度而言，周期性重复的几何形态具有独特的美学魅力。从结构设计角度而言，周期性的设计可以让细部设计只集中在一个单元体，而非整个结构。在土木和机械工程领域，有很多周期性结构的案例，譬如大型空间网架和夹层板结构。更多周期性结构应用的详情可以参考相关文献。
图11展示了一系列周期型结构的设计方案。其中需要注意的是，方案（1）和（5）实际上都在截面型心下方1m处增加了一块平板，但为了更清晰的概念呈现，并未在模型中表达。方案（1）~（4）的设计中都施加了了一个沿着长向的周期性几何约束，例如整座桥可以在长向分解出20个相同的模块。
图11.带有周期性的壳体方案：(1)蛋形截面的直管设计；(2)矩形截面的拱形管设计；(3)矩形截面的直管设计；(4)矩形截面的无顶盖拱形管设计；(5)原型截面的直管设计，并在跨度方向进行扭转。
方案（5）则设计了复合型周期性的叠加：在水平方向有10个单元体，在截面周长方向有6个单元体。除此之外还引入了一个扭转约束：即长向上每两段相邻的单元体之间有着沿截面周长方向的20°偏转。除了美学上的考虑以外，这一扭转的设计可以让结构在各个方向上都获得更好的刚度。为实现这个创新的结构造型，BBK建筑事务所和菲蒂（Felicetti）工程咨询共同进行了工程深化设计和施工技术设计。皇家墨尔本理工大学的实验室用预应力混凝土制作了一个断面。从图12中可以看到该断面三维打印的模型以及最终步行桥的效果。
图12.扭转截面设计作为最佳的解决方案得以实现。(1)用钢筋混凝土制作的部分桥梁原型；(2)将BESO计算结果进行三维打印；（3）最终的桥梁设计提案。
通过不同的截面类型、不同的扭转程度‘各种径向类型（直线、拱形等等）和各种单元体细分方式的变化，最终可以形成更多的多样化设计，从而在视觉和结构上获得进一步的创新。
5 建筑设计中的结构优化
尽管结构优化技术已经是一个理论上非常成熟的工具，在多个行业中得到应用，但是在建筑设计领域，其优势还没有被充分地挖掘。由于形态拓扑优化技术牵涉到复杂的数学运算，同时缺少方便建筑师使用的拓扑优化软件，该技术对于建筑师来说还是有一定距离的。这种情况一定程度上阻碍了这项工具在现代建筑设计中的广泛应用。
笔者基于流行的三维建模软件犀牛（Rhinoceros 3D），通过开发一个形态优化软件“BESO3D”，提出了一个概念设计流程。使用犀牛建立用于优化计算的结构模型，使用BESO3D进行有限元分析和优化计算。笔者还进一步开发了一个插件，用于犀牛和BESO3D之间的数据交换。这样，使用者就可以在建筑师所熟悉的犀牛平台中进行形态优化设计。图13是一个三维悬臂梁的例子。设计的领域是一个立方体，它是一个标准的犀牛物件。BESO3D插件允许在这个立方体顶部施加一个点荷载，并在其底部放置一个固定支座。同时可以设定模型离散的方程并导出至BESO3D进行优化计算。图14是优化后得出的方案，移除了80%的材料，但仍然显示了最初的立方体边界。
图13.对一个犀牛软件中建模的三维悬臂模型其荷载和约束条件进行优化。
图14.三维悬臂模型通过BESO3D软件进行优化并得到结果。
图15是另外一个桥梁刚度设计的案例。原始的设计模型在犀牛中进行预处理，通过BESO3D插件在模型顶部施加均布荷载，在底部放置对称的固定支座。优化设计仅保留了原始块上15%的材料就达到了桥梁的最大刚度。
图15.对一个桥的模型其荷载和约束条件进行优化。
图16就是经过优化的设计方案。在犀牛软件中，锯齿状的有限元模型非常易于光滑处理，从而可以方便地进行深化设计。可以看到，在BESO3D这一简单工具的帮助下，即使像卡塔尔国际会议中心这样复杂有机造型的桥，也可以非常容易地计算出来。
图16.通过BESO3D的犀牛插件形成的桥梁概念设计方案
这个设计过程十分简单但非常实际，只要进行少许修改，同样的程序可以安装到诸如欧特克（Autodesk）、玛雅（Maya）这样的建筑设计软件平台中。更多的有关BESO3D软件、犀牛插件以及其他优化工具包都可以在皇家墨尔本理工大学结构域材料创新中心的网站上看到。
6 结语
在过去十年间，建筑设计实践中逐渐出现了结构找形优化的应用。ESO/BESO算法非常完善，可以让建筑师在不放弃结构性能的前提下，寻求富有创新的造型。文中介绍了一些在建筑和桥梁设计中使用ESO/BESO算法的案例，展现了在建筑设计中使用渐进的形态优化算法所带来的创新性和高效性。操作简便的工具包不断完善，让工程师和建筑师可以快速上手。通过这些样例可以看到，利用数字化设计工具BESO可以推敲出既形式美观又结构合理的形态。可以预见到的是，结构形态优化的工具以后将会更多地出现在建筑设计实践中。
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